2025-08-25 01:04:25

分段函数

分段函数

分段函数

分段函数是在定义域的不同部分用不同解析式来表示的函数，它在数学分析和实际应用中非常常见。

定义

分段函数：在定义域的不同部分，用不同的解析式来表示的函数。

特点

分段函数具有以下特点：

定义域分割：定义域被分成若干个区间

不同解析式：每个区间对应一个解析式

分界点处理：在区间的分界点需要特别注意函数的连续性

分段分析：函数的性质需要分段讨论

构造方法

分段函数的构造通常遵循以下步骤：

确定定义域：明确函数的定义域

划分区间：根据条件将定义域分成不同的区间

选择解析式：为每个区间选择合适的解析式

处理分界点：确保在分界点处函数的定义和连续性

常见例子

绝对值函数

f(x)=∣x∣={x,x≥0−x,x<0f(x) = |x| = \begin{cases}

x, & x \geq 0 \\

-x, & x < 0

\end{cases}

f(x)=∣x∣={x,−x,​x≥0x<0​

符号函数

f(x) = \text{sgn}(x) = \begin{cases}

1, & x > 0 \\

0, & x = 0 \\

-1, & x < 0

\end{cases}

取整函数

f(x) = [x] = \text{不超过} x \text{的最大整数}

注意事项

分界点定义：分段函数在分界点的值要明确

连续性：分段函数可能在某些点不连续

性质分析：分段函数的性质需要分段讨论

图像绘制：绘制分段函数图像时要注意各段的连接

分段函数的性质分析

连续性

分段函数在分界点的连续性需要特别关注：

如果左右极限相等且等于函数值，则连续

否则函数在该点不连续

可导性

分段函数在分界点的可导性：

需要检查左右导数是否相等

如果相等，则在该点可导

否则在该点不可导

练习题

练习 1

构造一个分段函数 f(x)f(x)f(x)，使得：

当 x≥0x \geq 0x≥0 时，f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

当 x<0x < 0x<0 时，f(x)=−xf(x) = -xf(x)=−x

参考答案解题思路：

根据给定的条件构造分段函数。

详细步骤：

根据条件，函数在 x≥0x \geq 0x≥0 时使用 x2x^2x2

在 x<0x < 0x<0 时使用 −x-x−x

在分界点 x=0x = 0x=0 处，f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0f(0)=02=0

答案：

f(x)={x2,x≥0−x,x<0f(x) = \begin{cases}

x^2, & x \geq 0 \\

-x, & x < 0

\end{cases}

f(x)={x2,−x,​x≥0x<0​

练习 2

判断分段函数 f(x)={x2,x≥0−x,x<0f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}f(x)={x2,−x,​x≥0x<0​ 在 x=0x = 0x=0 处的连续性。

参考答案解题思路：

需要检查函数在 x=0x = 0x=0 处的左右极限和函数值。

详细步骤：

计算左极限：lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−(−x)=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0limx→0−​f(x)=limx→0−​(−x)=0

计算右极限：lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0limx→0+​f(x)=limx→0+​x2=0

函数值：f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0f(0)=02=0

由于左极限、右极限和函数值都相等，所以函数在 x=0x = 0x=0 处连续。

答案：函数在 x=0x = 0x=0 处连续。

练习 3

构造一个分段函数 f(x)f(x)f(x)，使得：

当 x>1x > 1x>1 时，f(x)=1x−1f(x) = \frac{1}{x-1}f(x)=x−11​

当 x≤1x \leq 1x≤1 时，f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

参考答案解题思路：

根据给定的条件构造分段函数。

详细步骤：

根据条件，函数在 x>1x > 1x>1 时使用 1x−1\frac{1}{x-1}x−11​

在 x≤1x \leq 1x≤1 时使用 x2x^2x2

在分界点 x=1x = 1x=1 处，f(1)=12=1f(1) = 1^2 = 1f(1)=12=1

答案：

f(x)={1x−1,x>1x2,x≤1f(x) = \begin{cases}

\frac{1}{x-1}, & x > 1 \\

x^2, & x \leq 1

\end{cases}

f(x)={x−11​,x2,​x>1x≤1​注意：这个函数在 x=1x = 1x=1 处不连续，因为左极限为 111，右极限为 +∞+\infty+∞。