2025-05-23 03:33:55

二重积分的解题技巧

计算方法

本节内容一般都应该先画图再思考后续内容较为直观

基本口诀是：后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限（且下限必须小于上限）

结合下图进行解释，后积先定限，对于X-型来说（看底下(1)那个式子）最后面是

d

y

dy

dy是先积分的，这个积分完才是对

x

x

x积分的，因此

x

x

x属于后积，那先确定它的上下限，即x轴方向上的始末。接着沿垂直于

x

x

x轴的方向画线，形成

d

y

dy

dy的上下限

仍以X-型为例，此时先对

y

y

y积分，故

x

x

x看成常数，随机积分得到一个仅含x的式子（因为根据NL公式求积分后

y

y

y都被上下限带入值了，上下限是只关于x的函数），这样再继续进行下一次积分就能出最后结果了。

关键是把

d

σ

d\sigma

dσ这个二维的微元转换成一维的形式，这不意味着一定是

d

x

d

y

dxdy

dxdy，在极坐标系下也可以进行类似的处理，即

d

σ

=

d

θ

r

d

r

d\sigma = d\theta r d r

dσ=dθrdr，并且极坐标系下一般都是先对

r

r

r再对

θ

\theta

θ进行积分的

∬

D

f

(

x

,

y

)

d

x

d

y

=

∬

D

f

(

r

cos

⁡

θ

,

r

sin

⁡

θ

)

r

d

r

d

θ

=

∫

α

β

d

θ

∫

r

(

θ

1

)

r

(

θ

2

)

f

(

r

cos

⁡

θ

,

r

sin

⁡

θ

)

r

d

r

\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_Df(r\cos \theta,r \sin \theta)rdrd\theta=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r(\theta_1)}^{r(\theta_2)}f(r\cos \theta,r \sin \theta)rdr

∬D​f(x,y)dxdy=∬D​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ=∫αβ​dθ∫r(θ1​)r(θ2​)​f(rcosθ,rsinθ)rdr

细说的内容可以看@高数叔的文章：知乎 - 《高等数学》二重积分计算（极坐标）

关于轮换对称性，只看积分区域

D

D

D是否关于

y

=

x

y=x

y=x对称即可（即

x

x

x和

y

y

y对调之后区域

D

D

D不变）

题目与思路

数形结合

由上图，若在紫色线

x

−

y

=

−

2

x-y=-2

x−y=−2和黄色线

x

−

y

=

2

x-y=2

x−y=2之间平移一条和他们斜率相等的线，则必有

−

2

<

x

−

y

<

2

-2

−2

−

1

<

x

−

y

2

<

1

-1<\frac{x-y}2<1

−1<2x−y​<1，则

−

1

<

∣

x

−

y

2

∣

-1<|\frac{x-y}2|

−1<∣2x−y​∣，由于

sin

⁡

x

\sin x

sinx在区间

[

0

,

1

]

[0,1]

[0,1]是单调递增的，所以有

sin

⁡

(

x

−

y

2

)

2

=

sin

⁡

∣

x

−

y

2

∣

2

<

sin

⁡

∣

x

−

y

2

∣

\sin (\frac{x-y}2)^2=\sin |\frac{x-y}2|^2<\sin |\frac{x-y}2|

sin(2x−y​)2=sin∣2x−y​∣2

奇偶性

30J.L12.2

题目中的积分式子可以拆成两部分，其中一部分根据奇偶性得到结果为0，最终答案是另一部分的结果。根据奇偶性得到结果为0的式子就是下面这个

∬

D

x

y

e

x

2

+

y

2

2

d

σ

\iint_D xy e^{\frac{x^2+y^2}2}d\sigma

∬D​xye2x2+y2​dσ

拆成

∬

D

x

y

5

d

x

d

y

\iint_Dxy^5dxdy

∬D​xy5dxdy和

−

∬

D

1

d

x

d

y

-\iint_D1dxdy

−∬D​1dxdy，前者为0，只用计算后者即可

对于前者为0，是因为按可加性拆为两个区域

D

2

D_2

D2​关于

y

y

y轴对称，原式是

y

y

y的奇函数，为0。

D

1

D_1

D1​关于

x

x

x轴对称，原式是

x

x

x的奇函数，为0。

关于

x

x

x轴对称要看

y

y

y的奇偶性，反之同理

轮换对称性

30J.L12.4

对椭圆的积分利用轮换对称性变成对圆的积分

I

=

∬

D

(

x

2

a

2

+

y

2

b

2

)

d

x

d

y

=

∬

D

(

y

2

a

2

+

x

2

b

2

)

d

x

d

y

I=\iint_D(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2})dxdy=\iint_D(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2})dxdy

I=∬D​(a2x2​+b2y2​)dxdy=∬D​(a2y2​+b2x2​)dxdy 故有下式：

I

=

1

2

(

2

I

)

=

1

2

(

1

a

2

+

1

b

2

)

∬

D

(

x

2

+

y

2

)

d

x

d

y

I=\frac 12 (2I)=\frac12(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\iint_D(x^2+y^2)dxdy

I=21​(2I)=21​(a21​+b21​)∬D​(x2+y2)dxdy

然后换到极坐标系下，秒了

30J.T12.3

分拆为两部分后得到

∬

D

e

sin

⁡

y

+

e

−

sin

⁡

x

d

x

d

y

\iint_De^{\sin y}+e^{-\sin x}dxdy

∬D​esiny+e−sinxdxdy，然后对仅含y的使用轮换对称性，随后得到

∬

D

e

sin

⁡

x

+

e

−

sin

⁡

x

d

x

d

y

\iint_De^{\sin x}+e^{-\sin x}dxdy

∬D​esinx+e−sinxdxdy，最后使用不等式

a

+

b

≥

2

a

b

a+b\ge 2\sqrt{ab}

a+b≥2ab

​，故

e

sin

⁡

x

+

e

−

sin

⁡

x

≥

2

e^{\sin x}+e^{-\sin x}\ge 2

esinx+e−sinx≥2，原式化为

∬

D

2

d

x

d

y

≥

2

π

2

\iint_D 2 dxdy\ge 2\pi^2

∬D​2dxdy≥2π2

极坐标系转直角坐标系

30J.L12.5

计算

I

=

∬

D

r

2

sin

⁡

θ

1

−

r

2

sin

⁡

2

θ

d

r

d

θ

I=\iint_D r^2\sin\theta\sqrt{1-r^2\sin{2\theta}}drd\theta

I=∬D​r2sinθ1−r2sin2θ

​drdθ，其中

D

=

{

(

r

,

θ

)

∣

0

≤

r

sec

⁡

θ

,

0

≤

θ

≤

π

4

}

D=\{(r,\theta)|0\le r\sec \theta,0\le \theta \le \frac \pi 4\}

D={(r,θ)∣0≤rsecθ,0≤θ≤4π​}

被积函数跟圆也没有关系，积分区域也不是圆的一部分

区域

r

=

sec

⁡

θ

=

1

cos

⁡

θ

→

r

cos

⁡

θ

=

1

=

x

r=\sec\theta =\frac 1{\cos\theta}\to r\cos\theta = 1=x

r=secθ=cosθ1​→rcosθ=1=x可得直角坐标系下的线

I

=

∬

D

r

2

sin

⁡

θ

1

−

r

2

sin

⁡

2

θ

d

r

d

θ

=

∬

D

y

1

−

x

2

+

y

2

d

x

d

y

I=\iint_D r^2\sin\theta\sqrt{1-r^2\sin{2\theta}}drd\theta=\iint_Dy\sqrt{1-x^2+y^2}dxdy

I=∬D​r2sinθ1−r2sin2θ

​drdθ=∬D​y1−x2+y2

​dxdy

随后处理步骤就是换元

∬

D

y

1

−

x

2

+

y

2

d

x

d

y

=

1

2

∫

0

1

d

x

∫

0

x

1

−

x

2

+

y

2

d

(

1

−

x

2

+

y

2

)

\iint_Dy\sqrt{1-x^2+y^2}dxdy=\frac 12\int_0^1dx\int_0^x\sqrt{1-x^2+y^2}d(1-x^2+y^2)

∬D​y1−x2+y2

​dxdy=21​∫01​dx∫0x​1−x2+y2

​d(1−x2+y2)

要注意在

d

y

dy

dy时候

x

x

x是常数，此时修改积分变量加到里面是完全没问题的，常数求导结果为0的。

30J.T12.2

关键是会画

r

=

cos

⁡

θ

r=\cos \theta

r=cosθ这条线，两边同乘

r

r

r可得

r

2

=

r

cos

⁡

θ

r^2=r\cos \theta

r2=rcosθ，亦即

x

2

+

y

2

=

x

x^2+y^2=x

x2+y2=x

交换积分次序

某些函数虽然有原函数，但是原函数不能用初等函数表示，此时的处理方法是交换积分次序，这类函

300T.T12.9

考点：交换积分次序+变限积分求导公式

二重积分处理一重积分的问题

30J.L12.8

设

f

(

x

)

=

∫

x

1

sin

⁡

(

π

u

2

)

d

u

f(x)=\int_x^1\sin(\pi u^2)du

f(x)=∫x1​sin(πu2)du求

∫

0

1

f

(

x

)

d

x

\int_0^1f(x)dx

∫01​f(x)dx

两种方法：一是分部积分法，二是化为二重积分后交换积分次序（需要找到积分区域

D

D

D）

∫

0

1

d

(

x

)

d

x

=

x

f

(

x

)

∣

0

1

=

∫

0

1

x

d

[

f

(

x

)

]

=

0

−

∫

0

1

x

d

[

∫

x

1

sin

⁡

(

π

u

2

)

]

=

∫

0

1

x

sin

⁡

(

π

x

2

)

d

x

=

1

π

\int_0^1d(x)dx = xf(x)|_0^1=\int_0^1xd[f(x)]=0-\int_0^1 xd{[\int_x^1\sin (\pi u^2)]}=\int_0^1x\sin(\pi x^2)dx=\frac 1\pi

∫01​d(x)dx=xf(x)∣01​=∫01​xd[f(x)]=0−∫01​xd[∫x1​sin(πu2)]=∫01​xsin(πx2)dx=π1​

该技巧可以使用的另一种情况的典型特征是两个（积分变量相同的）积分相乘，这里面运用到的一个重要的思想就是积分与字母无关

30J.L12.9

设

f

(

x

)

f(x)

f(x)为恒大于0的连续函数，证明

∫

0

1

f

(

x

)

d

x

⋅

∫

0

1

1

f

(

x

)

d

x

≥

1

\int_0^1f(x)dx·\int_0^1\frac{1}{f(x)}dx \ge 1

∫01​f(x)dx⋅∫01​f(x)1​dx≥1

唉，分别把

f

(

x

)

f(x)

f(x)和

1

f

(

x

)

\frac{1}{f(x)}

f(x)1​整成

y

y

y来处理，然后两个

I

I

I相加就行了，相当于是证明

2

I

2

≥

1

\frac{2I}2\ge 1

22I​≥1，积分区域

D

D

D不言自明，左下角在原点边长为1的正方形。

最后用了一下不等式

a

+

b

≥

2

a

b

a+b\ge 2\sqrt{ab}

a+b≥2ab

​

30J.L12.10

计算

∫

0

+

∞

e

−

x

2

d

x

\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx

∫0+∞​e−x2dx

因为

I

=

∫

0

+

∞

e

−

x

2

d

x

I=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx

I=∫0+∞​e−x2dx则

I

2

=

∫

0

+

∞

e

−

x

2

d

x

⋅

∫

0

+

∞

e

−

x

2

d

x

=

∫

0

+

∞

e

−

x

2

d

x

⋅

∫

0

+

∞

e

−

y

2

d

y

I^2=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx·\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx·\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy

I2=∫0+∞​e−x2dx⋅∫0+∞​e−x2dx=∫0+∞​e−x2dx⋅∫0+∞​e−y2dy

因此经过整理可以化为

∬

D

e

−

(

x

2

+

y

2

)

d

x

d

y

\iint_De^{-(x^2+y^2)}dxdy

∬D​e−(x2+y2)dxdy其中D是第一象限，接着转极坐标处理即可

最后由积分的保号性可知

I

>

0

I>0

I>0

结论题：逆用形心公式

逆用形心公式，适用于积分区域为

D

:

(

x

−

a

)

2

+

(

y

−

b

)

2

≤

R

2

D:(x-a)^2+(y-b)^2\le R^2

D:(x−a)2+(y−b)2≤R2

将

x

x

x换为

a

a

a，

y

y

y换为

b

b

b，

d

x

d

y

dxdy

dxdy换为

π

R

2

\pi R^2

πR2，有下式成立：

∬

D

(

m

x

+

n

y

+

l

x

y

)

d

x

d

y

=

(

m

a

+

n

b

+

l

a

b

)

π

R

2

\iint_D (mx+ny+lxy)dxdy=(ma+nb+lab)\pi R^2

∬D​(mx+ny+lxy)dxdy=(ma+nb+lab)πR2

积分区域和被积函数必须都满足上式的形式才行

其余要点

二重积分结果不一定是正的，比如

f

(

x

,

y

)

f(x,y)

f(x,y)若小于0，其体积实际上是

−

∬

D

f

(

x

,

y

)

d

x

d

y

- \iint_Df(x,y)dxdy

−∬D​f(x,y)dxdy